Permutaciones
Sea un conjunto finito y ordenado $A = \{a_1 , a_2, ... a_n \}$ con n elementos llamaremos permutación a cualquiera de las reordenaciones de estos.
Las permutaciones son el conjunto de las posibles aplicaciones f, tal que:
$$ f: A \rightarrow A $$
Este conjunto esta formado por n! aplicaciones.
Las permutaciones son un grupo.
- $f \circ f'$ es permutación, si ordeno y luego vuelvo a ordenar los elementos de la manera que sea el resultado es otra reordenación.
- Tienen elemento neutro , correctamente la aplicación que deja a cada elemento donde esta. y es trivial que $f \circ i = i \circ f = f$
- Tienen elemento inverso, pues claro el que me devuelve a la situación anterior cualquier reordenación.
No es abeliano, si la primera permutación es cambiar el $a_1$ por $a_2$ y luego $a_2$ por $a_3$ dejando el resto quietos se ve fácilmente que si lo hago al reves el el elemento $a_1$ no acaba en la misma posición.
La manera general de definir una permutación es mediante una tabla donde en la primera fila se colocan los elementos con el orden inicial y en la segunda con la posición tras pasar por la aplicación.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} $$ esta sería para un conjunto de 5 elementos la función que cambia el elemento $a_1$ por el $a_2$
