Unidad de un grupo $(U)$

Sea $( G, \circ )$ un grupoide llamaremos unidad de este $ (U (G) ) $ al conjunto de elementos del grupoide que tienen elemento inverso, este subconjunto ahora es un grupo.

Demostración:

1. Posee elemento neutro: y este a su vez es su inverso.
2. La ley asociativa es en el semigrupo y por lo tanto también en los elementos que cumplen la condición de $U(G) $
3. El elemento $(g_2 \circ g_1)^{-1} $ existe si existe $g_1$ y $g_2$ :

   si existe la ecuación: $$ (g_1 \circ g_2) \circ x = i $$ tiene solución y su valor es $(g_2 \circ g_1)^{-1} $ $$ g_2^{-1} \circ g_1^{-1} \circ g_1 \circ g_2 \circ x = g_2^{-1} \circ g_1^{-1} $$ $$ x= g_2^{-1} \circ g_1^{-1} $$

Lo que se parecen $(G,\circ)$ y $U(G,\circ)$ nos da una medida de cuanto tiene de grupo un semigrupo, si son iguales es porque $(G,\circ)$ es un grupo básicamente.