Grupo normalizador

Sea $(H, \circ)$ un subgrupo de $(G, \circ)$ " $H \leq G$ " definimos el grupo normalizador de H en G como el mayor subgrupo de G sobre el cual es normal H o lo que es lo mismo todos los $\{ g \in G | < H^g = H \}$ todos los elementos de g que cumplen $g^{-1} \circ H \circ g = H$ y lo escribiremos como $$ N_G (H) $$

Es lo mismo decir que $H \unlhd G$ $H$ es un subgrupo normal de $G$ que decir $N_G(H)= G$ , si $H$ ya es normal en $G$ entones todos los elementos cumplen la condición de pertenecer al grupo normalizador.

• $N_G(H) \leq G$ esto es por definición son los elementos de G para los cuales se comportan como normal respecto de $ H $
• $H \leq N_G (H) $ cualquier elemento del grupo $H$ cumple $h^{-1} \circ H \circ H $
• si $H \unlhd L$ y $ L \leq G$ entonces $ L \leq N_G(H) $ todo elemento $ g \in L $ cumple la condición de $H^g =H $ que es la definición de los elementos de todos los elementos de $N_G(H) $