Si $A$ es un conjunto transversal a izquierdas de $H$ en $G$ (un representante de cada una de las coclases que genera el conjunto $H$ en $G$)
$B$ un transversal de a izquierdas de las coclases que genera $I$ en $H$.
Entonces $A \times B $ es un transversal de $I$ en $G$
$G$ es igual a la unión disjunta de todas las coclases a izquierdas que genera $H$ en $G$ por definición luego $G = \dot\bigcup _{i} a_i H$
$H$ también se puede escribir como $H = \dot\bigcup _{j} b_j I$
Esto ahora se puede expresar como $G = \dot\bigcup _{i} a_i [ \dot\bigcup _{j} b_j I ]$
Luego $ G = \dot\bigcup _{ij} a_i b_j I $ luego $A \times B$ es un transversal a izquierdas de $I$ en $G$
Este proceso se podría haber realizado este proceso a derechas igualmente.
Teniendo en cuenta el teorema de Lagrange $| A \times B| = |G:I| $ , $| A| = |G:H| $ $|B| = |H:I| $ luego $| A \times B| = |A| \cdot |B| $
