Coclase doble

Sea $(G,\circ)$ un grupo con dos subconjuntos definidos $(H,\circ)$, $(I,\circ)$ en el. definimos la siguiente relación de equivalencia:
$a,b \in G$ estlan en relación si $ h \circ a \circ i = b$ con $h \in H$ y $i \in I$.

Es una relación de equivalencia.

1. reflexiva : $ a = id \circ a \circ id $ ; $id \in {H,I}$
2. simétrica : $ ( h \circ a \circ i = b ) \rightarrow ( h^{-1} \circ h \circ a \circ i = h^{-1} \circ b ) \rightarrow ( a \circ i \circ i^{-1} = h^{-1} \circ b \circ i^{-1}) $ $\{h , h^{-1} \}$ pertenecen ambos al mismo grupo $H$ y se puede decir lo mismo con $i$ luego es simétrica.
3. transitiva :
   $b= h \circ a \circ i $ ; $c= h' \circ b \circ i' $
   $b= h \circ a \circ i $ y $b= h'^{-1} \circ c \circ i'^{-1} $
   $ \rightarrow c = h \circ h' \circ a \circ i \circ i' $
   Como $h \circ h'$ es un elemento de $H$ y $i \circ i'$ es un elemento de $I$ q.e.d.
4. $G$ es la unión disjunta de todos ellos y esto es trivial.

$$ [a] = \{ h \circ a \circ i | h \in H , i \in I \} $$ A esto se le llama (H,I)-coclase .

$H \circ a \circ I = \dot\cup _j H \circ a \circ i_j$ donde j es un valor que hace recorrer a todos los i que hay.

Si cogemos uno de estos elementos $a \in G$ $ H \circ a \circ i_1$ esto es un conjunto de coclases disjuntas a derechas de $H$ dentro de $G$
$a \circ i_1$ es un elemento de $G$ si yo variase el elemento $a$ recorrería todas las coclases a derechas de $H$ en $G$ ya que el elemento $a \circ i_1$ donde a es cualquier elemento de $G$ es el conjunto $G i_1 = G $ pero si el que varío es el elemento $i$ cambia porque es un subconjunto con lo que tenemos coclases disjuntas pero no todas las coclases.

si $ H\circ a \circ i_1 = H\circ a \circ i_2 $ (son el mismo paquete de coclases a derechas de $H$) entonces:
$H\circ a \circ i_1 \circ i_2^{-1} = H\circ a$
Y esto implica $ H\circ a \circ i_1 \circ i_2^{-1} \circ a^{-1}= H $
Como H es un grupo $ H\circ (a \circ i_1 \circ i_2^{-1} \circ a^{-1} )= H $ el paréntesis es un elemento de $H$ y despejando.
$ i_1 \circ i_2^{-1} \in a^{-1}\circ H \circ a = H^a$ .
$i_1 \circ i_2^{-1} \in I$ por definición y por lo tanto también pertenece a la intersección $I \cap H^a$ que es a su vez un subgrupo de $G$
Concluimos que $ (I\cap H^a)\circ i_1 = (I\cap H^a)\circ i_2 $

si $a \circ i_1 , a \circ i_2 $ están en la misma coclase a derechas de $H$ implica que $ ( I \cup H^a)\circ i_1 , ( I \cup H^a)\circ i_2 $ están el la misma coclase quiere decir que hay las mismas coclases a derechas de H en G como coclases a derechas de $( I \cup H^a)$ en I

Las coclases dobles de $ H \circ a \circ I$ es la unión disjunta de todas estas coclases con lo que se cumple: $$ |H \circ a \circ I| = |H| \cdot | I:I \cap H^a | $$

$$ |(G:H)| = |H| \sum | I: (I \cap H^{a_i}) | $$ donde $a_i$ recorre todos los representantes de las coclases dobles.

$HI$ es un subconjunto de $G$ que tiene $$ |HI|=|H|\cdot | I:(I\cap H) | $$ y de manera concreta si $H$ y $I$ son finitos podemos decir: $$ |HI|= \frac {|H|\cdot |I|}{(|I \cup H| )} $$ dem: $ HI = H\circ id \circ I $

Sea $G$ un grupo con:

• $C$ un subconjunto de $G$
• $H$ un subgrupo de $G$

Si $C$ es unión de n coclases a derechas de $H$ en $G$ entonces $C^{-1}$ es unión de n coclases a izquierdas de $H$ en $G$
$C= \dot\cup H \circ g_i$ donde i recorre n valores $\rightarrow$ $C= \dot\cup g_i^{-1} \circ H$ donde i recorre n valores

Dem: la demostración es consecuencia directa de las propiedades de los inversos

$(H a I)^{-1} = I^{-1} a^{-1} H^{-1} = I^{a^{-1}} H $ con este paso se deduce que $$(H:(H \cap I^{a^{-1}})) $$ son las coclases a derechas de I en G.
Esto es ponerlo desde el punto de vista de I en lugar del de G ya que es invertir el orden de izquierdas y derechas de los conjuntos. $$ |G:I| = \sum |H|:|(H \cap I^{a^{-1}})| $$

Si $|G : H | < \infty $ es finito, entonces:

• $ | I:(I \cap H) | \leq |G:H| $ $H \circ id \circ I = H \circ I$ es union disjunta = $| I:(I \cap H) |$ y es menor que el número total de coclases
• $ | I:(I \cap H) | = |G:H| $ si y solo si $G = H \circ I$
  $ H I = \cup H \circ g =G$
• $ |G:I|< \infty $ y el máximo común divisor entre $ |G:H| $ y $ |G:I| $ es 1 entonces $G = HI$ Dem:
  1. $|I:(I \cap H)|=|G:H| $
  2. $|G:(H \cap I)|=|G:I| \cdot | I:(H \cap I) | $
  3. $|G:(H \cap I)|=|G:H| \cdot | H:(H \cap I) | $
  4. Igualando las dos últimas premisas tenemos una igualdad de productos donde dos de sus valores son primos entre si luego la única posibilidad es: $|G:H| = | I:(H \cap I) | $ y $|G:I| = | H:(H \cap I) |$