Coclases (propiedades)

propiedades de la estructura que genera un subgrupo $( H , \circ )$ sobre los elementos del grupo $( G , \circ )$ al que pertenece.

1. $ 1 \circ H = H \circ 1 = H$
2. $ h \circ H = H \circ h = H$ $\forall h \in H $
3. $ (g_1 \circ g_2 ) \circ H = g_1 \circ ( g_2 \circ H ) $
4. $ H \circ (g_1 \circ g_2 ) = H \circ ( g_1 \circ g_2 ) $
5. $ (g \circ H)^{-1} = H^{-1} \circ g^{-1} = H \circ g^{-1} $
6. $ g \circ H = \{g\} \circ H $

Teniendo $ H \leq G $ entonces las coclases a izquierdas que genera H sobre G son un particionado en G $\xi _i$ así como las coclases a derechas $\xi _d$.

• Cada elemento de g esta en una coclase a izquierdas concretamente $ g \circ i$
• dos coclases distintas no tienen ningún elemento en común: $$ g_1 H \cup g_2 H = \emptyset $$ De no ser así existiría un elemento común que cumplese $g_1 \circ h_1 = g_2 \circ h_2 $ de manera que $g_1 = g_2 \circ h_2 \circ h_1^{-1} $ o lo que es lo mismo $g_1 = g_2 \circ H $ con lo que pertenecen a la misma coclase.

La demostración del particionado a izquierdas se puede realizar igual que el particionado a derechas.

1. $ g \circ H = H \circ g $
2. $ \xi_i(H)=\xi_d(H) $
3. $ \mathbb{R}_{H,i}$ es estable respecto a la la ley de composicion interna.

$( g \circ H = H \circ g ) \rightarrow (\xi_i(H)=\xi_d(H)) $ esto es consecuencia directa, trivial .

$$ \xi_i(H) \rightarrow g_1 \in g_2 \circ H \rightarrow g_1 = g_2\circ h \rightarrow g\circ g_1 = g\circ g_2 \circ h \rightarrow g\circ g_1 = g\circ g_2 \circ H \rightarrow g\circ g_1 \mathbb{R}_i g\circ g_2 $$ $$ \xi_d(H) \rightarrow g_1 \in H \circ g_2 \rightarrow g_1 = h \circ g_2 \rightarrow g_1 \circ g = h \circ g_2 \circ g \rightarrow g_1 \circ g \in H \circ g_2 \circ g \rightarrow g_1 \circ g \mathbb{R}_d g\circ g_2 $$ Es estable a izquierdas el particionado a izquierdas y es estable a derechas el particonado a derechas, como el particinado a izquierdas y a derechas es el mismo entoces el particonado es estable y como consecuencia los partionados son estables.

Si la operación es estable respecto al particionado entones $g_1 \mathbb{R} g_2 $ implica que tanto $ g_2 \circ g_1^{-1} \mathbb{R} 1 $ y que $ g_1^{-1} \circ g_2 \mathbb{R} 1 $ (multiplicar a izquierdas y derechas por el mismo valor). con lo que $g_2$ esta en relación con $g_1$ si y solo si $g_2 \circ g_1^{-1} \in H \circ 1 = H$ y $g_1^{-1} \circ g_2 \in 1 \circ H = H$ y si se dan estas dos condiciones $$ g_2 \in g_1 H $$ y $$ g_2 \in H g_1$$ entonces $g_1H = Hg_1$ y esto se cumple de manera general