Si $H \leq G $ ($H$ es un subgrupo de $G$) el $card(\xi _i (H,G))$ (el número de particionados a izquierdas que genera $H$ en $G$) es el mismo que $card(\xi _d (H,G))$ (el número de particionados a derechas).
Además también se cumple: $ |G| = |H| : |G:H| $
Y si $|G|$ es finito a demás también se cumple $ |G:H| = |G| / |H| $ ( $|H|$ divide a |G| )
Dem:
Buscamos una aplicación biyectiva entre los particionados a izquierdas y a derechas.
$$ f: \xi_i (H,G) \longrightarrow \xi_d (H,G) $$
$$ f: gH \longrightarrow (gH)^{-1} $$
Esta aplicación es biyectiva por ser la definición de inverso en en $G$ para cada elemento de $gH$ y además tenemos que $(gH)^{-1} = H g^{-1} $ con lo que hay una aplicación biyectiva entre los particionados a izquierdas y a derechas.
Como las coclases son todas disjuntas y cada coclase a izquierdas se puede representar como un representante compuesto por el grupo $H$ , todas las coclases tienen el mismo número de elementos que $H$ (coclase formada pro $ iH $ ) entonces tenemos $$ |G:H| \cdot |H| = |G| $$
Si $(G, \circ)$ es un grupo finito entonces el orden del grupo generado por g un elemento cualquiera $|
Un grupo cíclico de orden primo no contiene subgrupos propios. En caso de haberlo tendría que dividir el numero de ellos por el th de Lagrange , los únicos que dividen son $i$ y el propio $G$ pero estos no son propios.
