El producto entre elementos de $\mathbb{N}$ no genera problemas, se describe bastante bien con la definición de suma reiterada.
En el caso de $\mathbb{Z}$ hay que añadir que si uno de los elementos a multiplicar es 0 entonces el resultado es 0.
De manera general el producto en $\mathbb{Z} $ se realiza como en $\mathbb{N} $ y luego se le asigna el signo según la tabla:
$\mathbb[Q]$ Para realizar un producto en $\mathbb{Q}$ se multiplican los numeradores y este se pone por numerador y se multiplican los denominadores y este es el denominador resultante. $$ \frac{num_1} {den_1} \frac{num_2} {den_2} = \frac{num_1 num_2} {den_1 den_2} $$
Si los números están en formato posicional se pueden tomar dos caminos: