Ahora $( h_2 \circ h'_1 )$ es un elemento que está tanto en $ H_1 H_2 $ como en $ h_2 H_1 $ luego se puede expresar como $( h^2_1 \circ h^2_2 )$ de manera que queda:
$$ h_1 \circ ( h^2_1 \circ h^2_2 ) \circ h'_2 = (h_1 \circ h^2_1 ) \circ ( h^2_2 \circ h'_2) $$Si $ H_1 \circ H_2 $ es un subgrupo $ H_2^{-1} \circ H_1^{-1} $ también lo es, y como $H_1$ y $H_2$ tienen estructura de grupo entonces: $ H_1 = H_1^{-1}$ $ H_2 = H_2^{-1}$
qed.Si $(N, \circ) \unlhd (G , \circ )$ $N$ es un grupo normal en $G$
y $(H, \circ) \leq (G , \circ )$ $H$ es un subgrupo de $G$
entonces $(N \circ H) \leq G$ $NH$ es un subgrupo de $G$
Sean $n \in N$ y $ h \in H $ ; $n^h \in N$ por ser $(N,\circ )$ un grupo normal. $$ n\circ h = \underbrace{ h\circ h^{-1} }_{id} \circ n \circ h = h \circ n^h \in HN $$ $$ h\circ h = h \circ n \circ \underbrace{ h\circ h^{-1} }_{id} = n^{-1} \circ h \in NH $$ Luego $NH = HN$ esta es razón necesaria y suficiente para que sea un subgrupo de $G$