Estabilidad de una (L.C.I.)

Sea $A$ un conjunto con $\{a,a',b,b'\} \in A $

Sean:

• Una L.C.I. $f:(A \times A) \longrightarrow A $ abreviada como $( \circ )$
• Una relación $ f'(A \times A) \longrightarrow \{V,F\} $

Estén en relación $a$ y $a'$, $ a \Re a'$ y $b$ y $b'$ $ b \Re b'$ diremos que es:

• Estable a izquierdas si $ (b \circ a) \Re (b \circ a'$).
• Estable a derechas si $ (a \circ b) \Re (a' \circ b$).
• Estable si $ (b \circ a) \Re (b' \circ a'$).

• Si en el conjunto se cumple que cada elemento está en relación únicamente consigo mismo entonces se cumple todo lo anterior siempre. Trivial
• Si es estable, es estable a izquierdas y es estable a derechas.
  Dem:
  Es el caso particular en el que $ a = a' $ o en el que $ b = b' $ para.
• Si es estable a izquierdas y es estable a derechas entonces es estable Dem:
  1. $ (a \circ b) \Re (a' \circ b)$
  2. $ (a \circ b) \Re (a \circ b') $
  3. Suponemos que $ (a \circ b) \not\Re (a' \circ b') $ "No estan en relación"
  4. pero (1) es cierto y por tanto $ (a \circ b') \Re (a' \circ b')$ también
  5. y (2) es cierto y por tanto $ (a' \circ b') \Re (a' \circ b')$ también lo que contradice lo supuesto.
• Si $ \circ $ es conmutativa, si es estable a izquierdas o a derechas implica ser estable de todas las maneras.