Suma (+)

La suma es una operación que representa la adicción en el mundo natural, El resultado de esta dependerá del conjunto sobre el que se aplique así como su definición.

La suma cumple las propiedades conmutativas y asociativa.

La suma a veces se puede representar con otros símbolos, para evitar confusión cuando se trabaja con distintos conuntos a la vez.

1. $\mathbb{N}$

   La suma en los números naturales viene definida por los axiomas de pano, si tengo los números a y b entoces a+b es el número b veces siguiente al número a.

2. $\mathbb{Z}$

   1. Si uno de los dos números es 0 el otro no cambia. ($\mathbb{Z}$ con la + tiene estructura de grupo y 0 es su elemento neutro )
   2. Si los dos números están en $\mathbb{N}$ se realiza la suma de la misma manera.
   3. Si los dos elementos a sumar no estan en $\mathbb{N}$ (son negativos) entonces se suman como si estuviesen en $\mathbb{N}$ y el resultado mantiene el carácter negativo.
   4. Si un número es negativo y otro positivo entonces se restan y mantienen el signo del sumando mayor.

   Si los dos números tienen distinto signo $ a + b = ? $ el mayor de ellos en valor absoluto (supongamos a) se puede descomponer en $ a = c + (-b)$ con $ \{-b , a , c \} $ el mismo signo, de manera que ahora $ c + (-b) + b = ? $ , de este modo queda "c" que mantiene el signo de a y es la diferencia en valor absoluto de a-b.
   En el caso que b tenga un módulo mayor se procede de la misma manera descomponiendo este número.

3. $\mathbb{Q}$

   La suma en $\mathbb{Q}$ es una generalización de la suma en $\mathbb{Z}$ pero aquí se aumenta el concepto, no solo se pueden sumar unidades. también se puede realizar el mismo proceso con medias partes, quintas partes, ya que en $\mathbb{Q}$ estan definidos.

   Los números en $\mathbb{Z}$ son los números en $\mathbb{Q}$ definidos de la forma $ \frac{a}{1} $ donde $a$ es un número $\mathbb{Z}$ que representa el mísmo número, de hecho esta es la definición de enteros.

   Dos números $\mathbb{Q}$ siempre se pueden sumar, y además se pueden expresar como un número $\mathbb{Q}$.

   1. Si el denominador es 1 el resultado es obvio ya que estamos haciendo referencia a números $\mathbb{Z}$
   2. Si el denominador es el mismo pero distinto de 1 el resultado, mantiene el mismo denominador y se opera con los numeradores como si de números en $\mathbb{Z}$ se tratase, si el denominador es un 3 entonces realizaremos la suma de tercios, se suman igual tercios que peras que lo que sea y el resultado son tercios.
   3. Si tiene denominadores diferentes, no se puede realizar la suma a priori, pero se puede realizar la suma de fracciones equivalentes que si cumplan la condición anterior.
      Estas fraciones siempre existen y además son infinitas.
   si tengo una suma de números en $\mathbb{Q}$ de manera general, $$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} $$ siempre existe el paso trivial: $$ \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} $$ Ahora tienen el mismo denominador y por lo tanto la suma es: $$ \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d} $$ Esta fracción no tiene por que ser la más simple y entonces se puede reducir, también se puede encontar de manera directa utilizando el teorema fundamental de la aritmética.

4. $\mathbb{Z}_n$

   La suma en $ \mathbb{Z}_{n} $ se realiza igual que en $ \mathbb{Z} $ y finalmente nos quedamos con el representante que prefiramos (generalmente el menor positivo que represente a la clase, dicho de otra manera sumamos dos elementos $ \mathbb{Z}_{n} $ como si estuviesen en $ \mathbb{Z} $ y si este es mayor que n entonces lo dividimos entre este, en caso de no serlo nos quedamos como este valor.