La suma en los números naturales viene definida por los axiomas de pano, si tengo los números a y b entoces a+b es el número b veces siguiente al número a.

1. Si uno de los dos números es 0 el otro no cambia. ($\mathbb{Z}$ con la + tiene estructura de grupo y 0 es su elemento neutro )
2. Si los dos números están en $\mathbb{N}$ se realiza la suma de la misma manera.
3. Si los dos elementos a sumar no estan en $\mathbb{N}$ (son negativos) entonces se suman como si estuviesen en $\mathbb{N}$ y el resultado mantiene el carácter negativo.
4. Si un número es negativo y otro positivo entonces se restan y mantienen el signo del sumando mayor.

La suma en $\mathbb{Q}$ es una generalización de la suma en $\mathbb{Z}$ pero aquí se aumenta el concepto, no solo se pueden sumar unidades. también se puede realizar el mismo proceso con medias partes, quintas partes, ya que en $\mathbb{Q}$ estan definidos.

Los números en $\mathbb{Z}$ son los números en $\mathbb{Q}$ definidos de la forma $ \frac{a}{1} $ donde $a$ es un número $\mathbb{Z}$ que representa el mísmo número, de hecho esta es la definición de enteros.

La suma en $ \mathbb{Z}_{n} $ se realiza igual que en $ \mathbb{Z} $ y finalmente nos quedamos con el representante que prefiramos (generalmente el menor positivo que represente a la clase, dicho de otra manera sumamos dos elementos $ \mathbb{Z}_{n} $ como si estuviesen en $ \mathbb{Z} $ y si este es mayor que n entonces lo dividimos entre este, en caso de no serlo nos quedamos como este valor.