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Representación posicional $ \mathbb{N}$
La representación posicional de números naturales es la más utilizada y naturalizada, y si no se dice nada se estará hablando de esta, el número 145 es una representación posicional.
La representación posicional se basa en dos puntos, por una parte un número finito de signos y por otra un peso que se le aporta en función de su posición.
Con $n$ símbolos se pueden representar $n$ números distintos pero con $nn$ símbolos se pueden representar $n^2$ y con $nnn$, $n^3$ esto en realidad representan las $VR_{n,m}$ variaciones con repetición de $n$ elementos tomados de $m$ en $m$ , de este modos se pueden representar cualquier número.
(si tengo infinitos números a representar, necesitaré infinitos n ya que la ecuación $$" n^{m} = \infty " \rightarrow "n = \infty" $$ Esto se soluciona, dando por hecho que los $n$ que no se escriben son nulos "0" a la izquierda).
El segundo problema que tengo es que no necesito solo representar números diferentes, el conjunto $\mathbb{N}$ es un conjunto ordenado, su representación también está bien que lo sea.
Esto lo conseguimos ordenando los signos que tenemos, generalmente diez (debido al número de dedos que tenemos en las manos) y asociados a $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.
  • El $0$ por si solo no es un número natural, representa nada y se utiliza principalmente para mantener las posiciones.
  • El $1$ representa la unidad y es el primero, no es sucesor de ninguno.
  • El $2$ es sucesor del 1, así como el $3$ del $2$ y siguiendo el orden en el que se han expuesto.
  • En el caso de tener diez caracteres diferentes, el carácter que se queda sin sucesor es el "9" en ese caso el sucesor lo escribimos como "10" en la posición de la izquierda empezamos a contar y donde hay un 9 se coloca un 0, posteriormente se sigue con la combinación de dos signos "11" , "12" ... hasta llegar al "19" al que le sucede "20" ,"21" ,"22" etc...
  • Esto ahora continua hasta el "99" al que le sucede "100", "101".. y así en cualquier posición
  • Hay que añadir que el número "24" es en realidad "...00000024" pero los "0" a la izquierda se omiten por imposibilidad de poner infinitos y por comodidad.
  • Los símbolos tienen una posición, en función de donde esté, esta será posición 1, para la de menos peso, 2 para la siguiente etc...

En el caso de utilizar una base 10 o diez caracteres diferentes, la posición 1 será la de las unidades, 2 para las decenas, 3 para las centenas, unidades de millar ,decenas de millar ...

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