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Representación en distintas bases
Para representar elementos de $\mathbb{N}$ tenemos dos limitaciones, el número de signos distintos que podemos utilizar y la cantidad de ellos, esto pondrá el límite en $a^m$ con $a$ la cantidad de signos diferentes y $m$ la cantidad de ellos que puedo utilizar.
A los límites antes puesto se le suma el límite trivial, los signos distintos tienen que ser como poco 2 ya que de ser 1, los distintos $\mathbb{N}$ que podría representar serían $1^m=1$.

Al número de distintos signos para representar lo llamaremos base. los signos son arbitrariamente elegidos por nosotros, pero es común utilizar $\{0,1\}$ para la base dos, $\{0,1,2\}$ para la base 3 etc, y para la base 11,12,13... los signos $\{0,1,2...8,9,A\}$ ,$\{0,1,2...8,9,A,B\}$ ,$\{0,1,2...8,9,A,B,C\}$... respectivamente.

El sistema más simple que puedo utilizar de representación es la base dos, ya que precisa de menos signos, esto tiene como ventaja que se puede representar con mecanismos más simples y que se puede representar con bases superiores, indicando la base en la que se está trabajando (el número 1011, se puede representar con los símbolos $\{0,1,2\}$) , por otra parte tiene como contra que se necesitan tantos o más caracteres para representar un mismo número.

La representación de los números en base 2 se realiza utilizando los mismos criterios que en base 10, la manera de contar es: 0,1,10,11,100,101,110,111,1000,....

y en otras bases también usaremos el mismo criterio , se incrementa en 1 el de menor peso y si este es el valor máximo , se establece como 0 y se incrementa el que está en una posición superior, o situado una posición a la izquierda de el, y este criterio se continúa utilizando con la posición 1, luego con la posición 2 etc...
Ej: base 3: 0,1,2,10,11,12,20,21,22,100,101....
Ej: base 9: 0,1,2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,10, 11....

Con independencia de la base la posición 0 serán las unidades, no ocurre los mismo con las posición 1, que en caso de ser base 10 serán decenas, en caso de ser 2 serán parejas, en caso de ser 3 tríos, y de manera general en caso de ser a pues paquetes de "$a$s" , con la posición 2 ocurre algo parecido , en base 10 son centenas, en base 2 cuartetos , y en base a paquetes de $aa$s o lo que es lo mismo paquetes de $a^2$s.

En la base en la que se esta hablando los paquetes de $a$s , $aa$s, $aaa$s son representados respectivamente por 10,100,1000 , si estamos hablando de base diez estos serán decenas centenas y unidades de millar pero si es en base dos, estaremos hablando de parejas, cuartetos y octetos .

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