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Th de Lagrange

Si $H \leq G $ ($H$ es un subgrupo de $G$) el $card(\xi _i (H,G))$ (el número de particionados a izquierdas que genera $H$ en $G$) es el mismo que $card(\xi _d (H,G))$ (el número de particionados a derechas).

Además también se cumple: $ |G| = |H| : |G:H| $

Y si $|G|$ es finito a demás también se cumple $ |G:H| = |G| / |H| $ ( $|H|$ divide a |G| )

Dem:
Buscamos una aplicación biyectiva entre los particionados a izquierdas y a derechas. $$ f: \xi_i (H,G) \longrightarrow \xi_d (H,G) $$ $$ f: gH \longrightarrow (gH)^{-1} $$ Esta aplicación es biyectiva por ser la definición de inverso en en $G$ para cada elemento de $gH$ y además tenemos que $(gH)^{-1} = H g^{-1} $ con lo que hay una aplicación biyectiva entre los particionados a izquierdas y a derechas.

Como las coclases son todas disjuntas y cada coclase a izquierdas se puede representar como un representante compuesto por el grupo $H$ , todas las coclases tienen el mismo número de elementos que $H$ (coclase formada pro $ iH $ ) entonces tenemos $$ |G:H| \cdot |H| = |G| $$

Si $(G, \circ)$ es un grupo finito entonces el orden del grupo generado por g un elemento cualquiera $||$ divide a $|G|$ , esto es consecuencia del th de Lagrange.

Un grupo cíclico de orden primo no contiene subgrupos propios. En caso de haberlo tendría que dividir el numero de ellos por el th de Lagrange , los únicos que dividen son $i$ y el propio $G$ pero estos no son propios.

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