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Propiedades de los grupos
Los grupos Cumplen propiedades que aunque estén implícitas en su definición merece la pena destacar.
  1. Sea $(A, \circ )$ un grupo y $\{a_1, ... a_i\}$ el conjunto de de los elementos de la forma $$ a_1^{n_1} \circ a_2^{n_2} \circ ... \circ a_i^{n_i} $$ con $n_i$ números enteros , tiene estructura de grupo, luego es un subgrupo de $(A, \circ )$
    1. Existe el elemento neutro - vasta que todos los $n_i$ sean 0
    2. Existe el elemento inverso , $ a_1^{-n_1} \circ a_2^{-n_2} \circ ... \circ a_i^{-n_i} $
    3. Exite el elemento porque cualquiera que multipliques por cualquiera sera una convinación más como la aterior. y ya que son elementos de A pues seran elementos de A también lo que le convierte en subconjunto.
    Pd: los elementos pueden estar repetidos intercalados y colocados de cualquier manera, que sin esta aclaración parece que solo es valido para cuando el grupo es abeliano.
  2. Sea $(H,\circ)$ un subgrupo de $(G,\circ)$ el elemento neutro de $(H,\circ)$ es el mismo elemento neutro de $(G,\circ)$.
    de no ser así existiría un elemento $h_i$ (neutro de $(H,\circ)$) que cumpliría las condiciones $ h_a \circ h_a^{-1} = h_a^{-1} \circ h_a = h_i $ y luego otro que cumpliese $ h_a \circ h_a^{-1} = h_a^{-1} \circ h_a = g_i $ ya que estamos en $(G,\circ)$.
    También se puede hacer $ h_i = h_i \circ h_i = h_i \circ g_i$ y de la segunda igualdad se llega a la conclusión que es el mismo.
  3. Sea $(H,\circ)$ un subgrupo de $(G,\circ)$ el elemento inverso de $h$ es el mismo en $(H,\circ)$ y en $(G,\circ)$ la aplicación está igual definida para elementos de $H$ como de $G$ luego la ecuación $ h \circ h^{-1} = h^{-1} \circ h = i $
  4. Para demostrar que $(H,\circ)$ es un subgrupo basta desmostrar que $ H \circ H \subseteq H$ y $ H^{-1} \subseteq H$ o de manera más rápida que $$ \forall a , b \in H \rightarrow a \circ b^{-1} \in H $$ Esta segunda afirmación es consecuencia directa de la primera ya que poder multiplicar por cada $b^{-1}$ implica la segunda condición y el $a \circ b$ implica la primera. y esto es condición suficiente ya que:
    1. El elemento neutro existe $a \circ a^{-1}$
    2. El inverso También $ (a \circ a^{-1}) \circ a^{-1} $
    3. Y la condición de que cualquier $a \circ b$ este dentro es lo que hemos demostrado de primeras.
  5. La intersección de dos subgrupos es un subgrupo.
    Sean H y I dos subgrupos de $(G, \circ)$, $(H \cap I, \circ)$ también lo es. dem:
    1. Elemento neutro es el elemento neutro común. esto está demostrado arriba
    2. El elemento inverso también existe ya que si un elemento tiene inverso en H y en I entonces este es el mismo y está en la intersección
    3. si $g_1$ y $g_2$ están en H también está en H $g_1 \circ g_2 $ y como esta implicación es válida para I entonces también está en la intersección.
    4. Sea $( G, \circ )$ un grupo y $( H_1, \circ )$ y $( H_2, \circ )$ dos subgrupos de de $( G, \circ )$ entonces $ H_1 H_2 \in ( G, \circ ) $ si y solo si $ H_1 H_2 = h_2 H_1 $
      1. el elemento neutro esta en $H_1$ y en $H_2$ el el producto de el por si mismo es el elemento neutro luego está.
      2. $$ (h_1 \circ h_2 ) \circ (h'_1 \circ h'_2 ) = h_1 \circ ( h_2 \circ h'_1 ) \circ h'_2 $$

        Ahora $( h_2 \circ h'_1 )$ es un elemento que está tanto en $ H_1 H_2 $ como en $ h_2 H_1 $ luego se puede expresar como $( h^2_1 \circ h^2_2 )$ de manera que queda:

        $$ h_1 \circ ( h^2_1 \circ h^2_2 ) \circ h'_2 = (h_1 \circ h^2_1 ) \circ ( h^2_2 \circ h'_2) $$
      3. y el inverso de $h_1 \circ h_2 = h_2^{-1} \circ h_1^{-1}$
      4. Si $ H_1 \circ H_2 $ es un subgrupo $ H_2^{-1} \circ H_1^{-1} $ también lo es, y como $H_1$ y $H_2$ tienen estructura de grupo entonces: $ H_1 = H_1^{-1}$ $ H_2 = H_2^{-1}$

        qed.
    5. Si $(N, \circ) \unlhd (G , \circ )$ $N$ es un grupo normal en $G$

      y $(H, \circ) \leq (G , \circ )$ $H$ es un subgrupo de $G$

      entonces $(N \circ H) \leq G$ $NH$ es un subgrupo de $G$

      Sean $n \in N$ y $ h \in H $ ; $n^h \in N$ por ser $(N,\circ )$ un grupo normal. $$ n\circ h = \underbrace{ h\circ h^{-1} }_{id} \circ n \circ h = h \circ n^h \in HN $$ $$ h\circ h = h \circ n \circ \underbrace{ h\circ h^{-1} }_{id} = n^{-1} \circ h \in NH $$ Luego $NH = HN$ esta es razón necesaria y suficiente para que sea un subgrupo de $G$

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