docoo
Permutaciones
Sea un conjunto finito y ordenado $A = \{a_1 , a_2, ... a_n \}$ con n elementos llamaremos permutación a cualquiera de las reordenaciones de estos.

Las permutaciones son el conjunto de las posibles aplicaciones f, tal que: $$ f: A \rightarrow A $$ Este conjunto esta formado por n! aplicaciones.

Las permutaciones son un grupo.
  1. $f \circ f'$ es permutación, si ordeno y luego vuelvo a ordenar los elementos de la manera que sea el resultado es otra reordenación.
  2. Tienen elemento neutro , correctamente la aplicación que deja a cada elemento donde esta. y es trivial que $f \circ i = i \circ f = f$
  3. Tienen elemento inverso, pues claro el que me devuelve a la situación anterior cualquier reordenación.
No es abeliano, si la primera permutación es cambiar el $a_1$ por $a_2$ y luego $a_2$ por $a_3$ dejando el resto quietos se ve fácilmente que si lo hago al reves el el elemento $a_1$ no acaba en la misma posición.

La manera general de definir una permutación es mediante una tabla donde en la primera fila se colocan los elementos con el orden inicial y en la segunda con la posición tras pasar por la aplicación. $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} $$ esta sería para un conjunto de 5 elementos la función que cambia el elemento $a_1$ por el $a_2$

Órbita ( permuntación )

2022-01-12

Sea un conjunto $A$ con una permutación definida en el $ \sigma $. Si se aplica esta permutación sobre el conjunto, el elemeto $a_i$ un elemento cualquiera del conjunto $A$ irá cambiando de posición según indica $ \sigma $ hasta volver a su posción de inicio, esto tiene que ocurrir porque estamos tratando con un conjunto finito de n elementos "luego en como mucho n-1 veces que se aplique esta permutación tiene que repetir".
Las sucesivas posiciones ordenadas del elemento $a_i$ se llamará órbita de $a_i$

Ciclo

2022-01-13

Sea $A$ conjunto finito y ordenado con una permutación definida en el $ \sigma $ al aplicarse repetidas veces esta permutación sobre $A$ los elementos $a_i \in A$ van variando su posición, a las posiciones que va tomando cada elemento $a_i$ se les conoce como órbita de $a_i$ y a las posiciones ordenadas de estas se les conoce como ciclo de la permutación.

--