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teoría de grupos
La teoría de grupos estudia si los conjuntos cumplen las propiedades para serlo o no y en caso afirmativo , también estudia que otras propiedades más se cumplen además de poder clasificarlos entre ellos.

Grupoide $ (G, \circ)$

2021-03-23

Un conjunto no vacío con una ley de composición interna se dice que tiene estructura de grupoide.

Semigrupo $ ( G, \circ) $

2021-03-23

Un grupoide asociativo con elemento neutro $(i)$

Grupoide implica tener una LCI bien definida en los elementos dos a dos.

Grupo $ ( G , \circ ) $

2021-03-24

Sea un conjunto $G$ con una LCI bien definida en todos sus elementos dos a dos.
diremos que es un grupo si cumple:

  1. "$\circ $" tiene la propiedad asociativa.
  2. Existe el elemento neutro respecto de $\circ$
  3. Para todo elemento existe su inverso $ \forall g \in G, \exists g' | g \circ g' = i$

Subgrupo

2021-03-25

Sea $( G, \circ )$ un grupo llamaremos subgrupo de $( G, \circ )$ a todo subconjunto de $G$ que tenga estructura de grupo con la LCI $( \circ )$

Unidad de un grupo $(U)$

2021-04-22

Sea (G, \circ) un grupoide llamaremos unidad de este $(U(G))$ al conjunto de elementos del grupoide que tienen elemento inverso, este subconjunto ahora es un grupo.

Grupo abeliano

2021-05-05

Un grupo $(G,\circ)$ que cumple la propiedad conmutativa se denomina grupo conmutativo o abeliano.

Grupos destacados

2021-12-02

Se exponen algunos grupos con sus propiedades y características generales.

Permutaciones

2021-12-29

Sea un conjunto finito y ordenado $A = \{a_1 , a_2, ... a_n \}$ con n elementos llamaremos permutación a cualquiera de las reordenaciones de estos.

Las permutaciones son el conjunto de las posibles aplicaciones f, tal que: $$ f: A \rightarrow A $$ Este conjunto esta formado por n! aplicaciones.

Notación de grupo

2021-12-29

Muchos grupos comúnmente usados tienen notación propia, pero de manera general usaremos:

  • $g^1 = g "$ : el mismo elemento.
  • $g^{-1} $ : elemento inverso.
  • $g^2 = g \circ g $
  • $g^{n}=\underbrace{\{g\circ g \circ .... g \circ g \}}_{n}$

Equación en un grupo

2022-01-05

En un grupo la ecuación $$ g \circ x = g' $$ y $$ x \circ g = g' $$ tienen solución.

Órbita ( permuntación )

2022-01-12

Sea un conjunto $A$ con una permutación definida en el $ \sigma $. Si se aplica esta permutación sobre el conjunto, el elemeto $a_i$ un elemento cualquiera del conjunto $A$ irá cambiando de posición según indica $ \sigma $ hasta volver a su posción de inicio, esto tiene que ocurrir porque estamos tratando con un conjunto finito de n elementos "luego en como mucho n-1 veces que se aplique esta permutación tiene que repetir".
Las sucesivas posiciones ordenadas del elemento $a_i$ se llamará órbita de $a_i$

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