Propiedades de los grupos normales

• $ (H , \circ ) \unlhd ( G , \circ) $
• $ H^g = H ,\forall g \in G $
• $ H^g \subseteq H ,\forall g \in G$
• $ h^g \subseteq H , \forall g \in G , \forall h \in H $

• $$ (H , \circ ) \unlhd ( G , \circ) \longrightarrow H^g = H ,\forall g \in G $$ $g \circ g^{-1} \circ H$ es un elemnto h, y por ser normal $g^{-1} \circ H = H \circ g^{-1} $
• $$H^g = H ,\forall g \in G \longrightarrow H^g \subseteq H ,\forall g \in G $$ Si es igual está contenido.
• $$ H^g \subseteq H ,\forall g \in G \longrightarrow h^g \subseteq H , \forall g \in G , \forall h \in H $$ Nuevamente es un caso particular del anterior que también es trivial.
• $$ h^g \subseteq H , \forall g \in G , \forall h \in H \longrightarrow (H , \circ ) \unlhd ( G , \circ) $$ Esta ya es mas difícil de demostrar:
  Hay que demostrar qu $g \circ H = H \circ g$ para todo $g \in G $
  $g \circ h = g \circ h \circ g^{-1} \circ g$
  Como $g \circ h \circ g^{-1} es h^{g^{-1}}$ esto es igual a $ h^{g^{-1}} \circ g $
  $h^{g^{-1}} $ está contenido en $ H $ entonces $ h^{g^{-1}} \circ g $ está contenido en $ H \circ g $ con lo que $g \circ H \in H \circ g $ En la otra dirección más rapido. $h \circ g = g \circ g^{-1} \circ h \circ g = g \circ h^g \in g \circ H $ para todo h luego $ H \circ g \in g \circ H $
  t si se cumplen esta inclusión en ambas direcciones es porque son iguales.

Para todo $x,y,z \in (G,\circ)$

$$(x \circ y)^z = x^z \circ y^z $$ desarrollando $$(x \circ y)^z = z^{-1} \circ x \circ y \circ z = z^{-1} \circ x \circ z \circ z^{-1} \circ y \circ z = x^z \circ y^z $$

$$ {x^{y}}^{-1} = {x^{-1}}^{y} $$ Si el opuesto de ${x^{y}}^{-1}$ es $x^y$ y la igualdad anterior es cierta entonces: $$ {x^{y}}^{-1} \circ x^y =1 $$ $$ y^{-1} \circ x \circ y \circ y^{-1} \circ x^{-1} \circ y = y^{-1} \circ x \circ x^{-1} \circ y = y^{-1} \circ y = 1 $$