1. Existe el número 1, el conjunto $\mathbb{N}$ tiene la unidad.
2. Todo número natural tiene un sucesor , $n \in \mathbb{N} \rightarrow n' \in \mathbb{N} $ donde $n'$ es el sucesor.
3. El 1 no es sucesor de ninguno.
4. Dos números naturales con el mismo sucesor son el mismo número (la aplicación sucesión es inyectiva).
5. si tengo un conjunto $A \in \mathbb{N} $ el cual contiene el 1 $\{ 1 \in A \}$ y todo elemento de $A$ tiene su sucesor en $A$ entonces todo elemento de $\mathbb{N}$ esta contenido en $A$.

El conjunto $ \mathbb{N}* $ es el conjunto $\{ \mathbb{N} \cap 0 \}$.

Este conjunto con la suma $ (\mathbb{N}*, +) $ tiene estructura de semigrupo al actuar el $0$ como elemento neutro de cualquiera.

El conjunto $ \mathbb{Z} $ Este conjunto está formado por: $ \mathbb{N}* $ y sus inversos respecto de la suma. de este modo el conjunto $( \mathbb{Z} , * )$ se convierte en un grupo, eso sí , la operación de la suma esta definida entre los naturales, está también definida entre sus inversos ya: $$ \{ a + b = c \} \rightarrow \{ -a + (-b) = -c \} $$ Y si la suma se realiza entre valores que uno pertenece a $\mathbb{N}$ y otro al de sus opuestos (tienen distinto signo) entonces se hará usando el siguiente razonamiento $$ a + b = (a' + (-b)) + b= a' $$ con lo que la manera de encontrar el valor es tratar de descomponer a como una suma del opuesto de b más otro número , esto de aquí no siempre se va a poder hacer a priori, ya que si b es mayor que a no existen dos números naturales que cumplan esto, esto se soluciona utilizando la propiedad conmutativa y el inverso del inverso es el mismo número. $$ a + b = -(-( a + b)) = -( -a + (-b)) = -( -b + (-a)) $$ y ya estás en las condiciones de arriba (este proceso es mucho más fácil viendo los 2 por 2 por ... = 8 o 16 ejemplos diferentes que hay).

El conjunto $ \mathbb{Q} $ es un conjunto formado por todos los elementos que se pueden escribir de la forma $ \frac{a}{b} $ donde $\{a,b\} \in \mathbb{Z} $ a y b son elementos de $\mathbb{z}$ , Estos elementos cumplen:

• El elemento neutro respecto del producto es el 1.
• Cualquier número a perteneciente a $\mathbb{Z}$ es el mismo que $\frac{a}{1}$
• El elemento inverso de $\frac{a}{b}$ es $\frac{b}{a}$
• Todo elemento de $\mathbb{Q} $ tiene inverso salvo el 0
• $(\mathbb{Q},+)$ es un grupo.
• $(\mathbb{Q}- 0, \cdot )$ es un grupo.
• $(\mathbb{Q},+,\cdot)$ es un cuerpo.