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El subconjunto $[-1,3)$ dentro de $\mathbb{Q}$
En primer lugar vamos ha hablar del conjunto $\mathbb{Q}$ y algunas de sus propiedades relevantes para luego centrarnos en el subconjunto a estudiar.

El conjunto $\mathbb{Q}$ es un conjunto con una relación de orden! "con la operación mayor que (>)" El conjunto $\mathbb{Q}$ es un continuo

El conjunto $[-1,3)$ , mantiene la misma relación de orden que el conjunto al que pertenece , en este conjunto se puede hablar de:

  • Cota superior : cualquier numero mayor que 3 por ejemplo 5
  • Cota inferior : cualquier numero menor que -1 por ejemplo -2
  • Supremo : no tiene! elija el número que elija del conjunto siempre va ha haber un número entre el y el 3 y si elijo el tres no cumple la condicion por no pertenecer al conjunto.
  • Ínfimo : -1 el menor número del conjunto

Aplicación en un particionado

2021-03-10

Si tenemos una aplicación "$f:A,A\longrightarrow A$" y una relación de equivalencia "$\Re$" definida en $A$.
Si $f$ es estable, tanto a derechas como a izquierdas, respecto de $\Re $ entonces queda perfectamente definida $$f:(A/\Re),(A/\Re)\longrightarrow (A/\Re) $$ siendo $(A/\Re)$ el conjunto cociente de de $A$ respecto de $ \Re$ $$ f: [a_1],[a_2]\longrightarrow [a_1] \circ [a_2] = [a_1 \circ a_2] $$

Reflexiva

2021-03-10

Sea una relación $f(A \times A ) \longrightarrow \{V,F\} $ diremos que es reflexiva si para todo elemento de a esta en relación consigo mismo. $$ \{ \forall a_i \in A \} f(a_i \times a_i) \rightarrow V $$

Simétrica

2021-03-11

Sea una relación $f(A \times A ) \longrightarrow \{V,F\} $ diremos que es simétrica si siendo dos elementos $a_i$ y $a_j$ elementos cualesquiera de $A$, si $a_i$ está en relación con $a_j$ implica que $a_j$ está en relación con $a_i$ $$ \{ \forall a_i, a_j \in A \} [ f(a_i \times a_j) \rightarrow V] \longrightarrow [ f(a_j \times a_i) \rightarrow V] $$

Transitiva

2021-03-11

Sea una relación $f(A \times A ) \longrightarrow \{V,F\} $ diremos que es transitiva si siendo tres elementos $a_i$ y $a_j$ $a_k$ elementos cualesquiera de $A$, si $a_i$ está en relación con $a_j$ y $a_j$ en relación con $a_k$ implica que $a_i$ está en relación con $a_k$ $$ \{ \forall a_i, a_j ,a_k \in A \} [ f(a_i \times a_j) \rightarrow V],[ f(a_j \times a_k) \rightarrow V] \longrightarrow [ f(a_i \times a_k) \rightarrow V] $$

Antisimétrica

2021-03-12

Sea una relación $f(A \times A ) \longrightarrow \{V,F\} $ diremos que es antisimétrica si para todo elemento de $a_i$ ,$a_j$ se cumple que si $a_i$ está en relación con $a_j$ entonces $a_j$ no está en relación con $a_i$ $$ \{ \forall a_i, a_j \in A \} [f(a_i \times a_j) \rightarrow V] \longrightarrow [f(a_j \times a_i) \rightarrow F] $$

Relación de equivalencia

2021-03-13

Una relación de equivalencia es aquella relación que cumple:

  1. Reflexiva.
  2. Simétrica.
  3. Transitiva.

Particionado de una relación

2021-03-15

Sea $A$ un conjunto sobre el que se ha definido una relación, si esta es de equivalencia genera unos subconjuntos dentro de $A$ bajo el criterio "dos elementos pertenecen al mismo subconjunto si y solo si están en relación "

Orden

2021-03-18

Un conjunto es ordenado, si sobre el se define una relación de orden, pero en función de las características de esta relación, se puede matizar entre distintos tipos de orden.

Cota

2021-03-19

Sea $A$ un conjunto sobre el que se ha definido una relación de orden, $B$ un subconjunto de $A$ diremos que $a \in A$ es una cota del subconjunto $B$ si cumple $a \Re b_i$ o $a \not\Re b_i$ siendo $b_i$ cualquier elemento de $B$.

Supremo

2021-03-20

Sea un conjunto A con un subconjunto $A_i \in A$, si $A_i$ está acotado superiormente a la menor de esas cotas superiores la llamaremos Supremo y se denota como $sup(A_i)$ si existe.

Ínfimo

2021-03-22

Sea un conjunto A con un subconjunto $A_i \in A$, si $A_i$ está acotado inferiormente a la mayor de esas cotas inferiores la llamaremos ínfimo y se denota como $inf(A_i)$ si existe.

Reticulado

2021-04-10

Un conjunto parcialmente ordenado con supremo e ínfimo de dice que es un reticulado.
Sean cuales sean dos elementos del conjunto $a, b$ estos tendrán un supremos y un ínfimo.

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