docoo
Estabilidad de una (L.C.I.)
Sea $A$ un conjunto con $\{a,a',b,b'\} \in A $
Sea una L.C.I. $f:(A \times A) \longrightarrow A $ abreviada como $( \circ )$ y un relación $ f'(A \times A) \longrightarrow \{V,F\} $
estén en relación $a$ y $a'$, $ a \Re a'$ y $b$ y $b'$ $ b \Re b'$ diremos que es:
Estable a izquierdas si $ (b \circ a) \Re (b \circ a'$).
Estable a derechas si $ (a \circ b) \Re (a \circ b'$).
Estable si $ (b \circ a) \Re (b' \circ a'$).
  • Si en el conjunto se cumple que cada elemento está en relación únicamente consigo mismo entonces se cumple todo lo anterior siempre. trivial
  • Si es estable es estable a izquierdas y es estable a derechas.
    Dem: es el caso particular en el que $ a = a' $ o en el que $ b = b' $ para.
  • Si es estable a izquierdas y es estable a derechas entonces es estable Dem:
    1. $ (a \circ b) \Re (a' \circ b)$
    2. $ (a \circ b) \Re (a \circ b') $
    3. Suponemos que $ (a \circ b) \not\Re (a' \circ b') $
    4. pero 1 es cierto y por tanto $ (a \circ b') \Re (a' \circ b')$ también
    5. y 2 es cierto y por tanto $ (a' \circ b') \Re (a' \circ b')$ también lo que contradice lo supuesto.
  • Si $ \circ $ es conmutativa, si es estable a izquierdas o a derechas implica ser estable de todas las maneras.
--