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Aplicación en un particionado
Si tenemos una aplicación $f:A,A\longrightarrow A$ y una relación de equivalencia $\Re$ definida en $A$.
Si $f$ es estable, tanto a derechas como a izquierdas, respecto de $\Re $ entonces queda perfectamente definida $$f:(A/\Re),(A/\Re)\longrightarrow (A/\Re) $$ siendo $(A/\Re)$ el conjunto cociente de de $A$ respecto de $ \Re$ $$ f: [a_1],[a_2]\longrightarrow [a_1] \circ [a_2] = [a_1 \circ a_2] $$
Si $a_1$ y $a_3$ están en relación de equivalencia entonces $$ f: a_1, a_2 \longrightarrow a_1 \circ a_2$$ $$ f: a_3, a_2 \longrightarrow a_3 \circ a_2$$ y por definición estos dos están en estabilidad sobre $\Re$ $[a_1 \circ a_2]=[a_3 \circ a_2]$ porque $[a_1]=[a_3]$ ya que cada elemento del subconjunto es representante. Esto se puede hacer del mismo modo con $a_2$ y un elemento $a_4$ que esté en relación con este y se acabaría llegando a la misma conclusión $$[a_1 \circ a_2] = [a_3 \circ a_2] = [a_1 \circ a_4] = [a_3 \circ a_4]$$ La denotación de una ley es arbitraria pero debido a su similitud se puede denotar por el mismo símbolo y en caso de posible confusión se especifica el conjunto sobre el que actúa.
2020-01-04