Subgrupo
Sea $(G,\circ)$ un grupo, llamaremos subgrupo de $(G,\circ)$ a todo subconjunto de $G$ que tenga estructura de grupo con la LCI $(\circ)$.
Son subconjuntos de $(G, \circ)$ al propio $(G, \circ)$ y $(i, \circ)$.
Utilizaremos $ (\circ)$ para la LCI del subconjunto sin problema ya que al aplicarse sobre elementos del subconjunto tiene el mismo resultado que si se realiza en el subconjunto, dicho de otra manera, si $a \circ b = c $ siendo $a,b,c$ elementos del subconjunto esta ecuación es igualmente válida en el conjunto.
Si $(H,\circ )$ es un subgrupo de $(G,\circ )$ el elemento neutro de $G$ es el mismo elemento neutro que de $H$.
El elemento inverso de cualquier elemento de $(H,\circ )$ es el mismo elemento de $(G,\circ )$ , al revés no es cierto , hay que añadir un "si existe" ya que un elemento de $G$ no tiene por que estar en $H$.
Estas anotaciones hace que se use un abuso de notación sin necesitad de generar ambigüedad. el elemento $i_H = i_G =i $