Propiedades de las aplicaciones
Las funciones (y las correspondencias) tienen algunas características que sirven para identificarlas y caracterizarlas correctamente así como para desarrollar otras
y deducir otros conceptos.
$$ f:A \longrightarrow B $$
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Si $f(a) = B $ (B el conjunto total) entonces $f^{-1}$ es suprayectiva
La definición de suprayectiva es que el conjunto de llegada es el total y la definición de aplicación es que de cada $a$ hay una imagen luego
si todo b proviene de un a su inversa tendrá una imagen. $f^{-1}$ no tiene por que ser aplicación.
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$f$ es inyectiva si cada elemento de $B$ tiene 1 o ninguna anti-imagen de $A$
$$ | f^{-1} (b)| \leq 1 , \forall b \in B $$
El módulo de la inversa de $f$ aplicada a cualquier elemento de $B$ es 1 o 0 (digo inversa en vez función inversa porque no tiene por que ser función
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Sean $A$ y $B$ dos conjuntos y $\{A_1 ,A_2, ... A_n \}$ $\{B_1 ,B_2, ... B_n \}$ subconjuntos de $A$ y $B$
respectivamente de $A$ y $B$
Sea $B_i$ la imagen de $A_i$ mediante la aplicación $f:$
$$ B_i = \{ b / b=f(a) , a \in A_i \}$$
A la unión de los subconjuntos de $A$ le corresponde la unión de las imágenes de los subconjuntos de $A$
Dem:
Si $a$ pertenece a la unión es porque pertenece a algún subconjunto $A_i$ luego este elemento tendrá una imagen
$f(a)$ de manera que esta en la imagen.
Si b esta en la imagen es porque está en algún subconjunto de esta y si es así es porque es imagen de un a
luego la afirmación es cierta.
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Sean $A$ y $B$ dos conjuntos y $\{A_1 ,A_2, ... A_n \}$ $\{B_1 ,B_2, ... B_n \}$ subconjuntos de $A$ y $B$
respectivamente de $A$ y $B$
Sea $B_i$ la imagen de $A_i$ mediante la aplicación $f:$
$$ B_i = \{ b / b=f(a) , a \in A_i \}$$
La intersección de subconjuntos de $A$ NO es la intersección de sus imágenes
Supongamos $ A_1 ,A_2$ dos subconjuntos disjuntos de $A$ entonces la intersección será $ \emptyset $ luego
la imagen también es $\emptyset $
Supongamos que existen elementos (al menos uno) de $A_1$ y $A_2$ que tienen la misma imagen la intersección
de las imágenes tendrá al menos este elemento en común luego no coinciden
