Propiedades de las aplicaciones

Las funciones (y las correspondencias) tienen algunas características que sirven para identificarlas y caracterizarlas correctamente así como para desarrollar otras y deducir otros conceptos.

$$ f:A \longrightarrow B $$

1. Si $f(a) = B $ (B el conjunto total) entonces $f^{-1}$ es suprayectiva
   La definición de suprayectiva es que el conjunto de llegada es el total y la definición de aplicación es que de cada $a$ hay una imagen luego si todo b proviene de un a su inversa tendrá una imagen. $f^{-1}$ no tiene por que ser aplicación.
2. $f$ es inyectiva si cada elemento de $B$ tiene 1 o ninguna anti-imagen de $A$ $$ | f^{-1} (b)| \leq 1 , \forall b \in B $$ El módulo de la inversa de $f$ aplicada a cualquier elemento de $B$ es 1 o 0 (digo inversa en vez función inversa porque no tiene por que ser función
3. Sean $A$ y $B$ dos conjuntos y $\{A_1 ,A_2, ... A_n \}$ $\{B_1 ,B_2, ... B_n \}$ subconjuntos de $A$ y $B$ respectivamente de $A$ y $B$
   Sea $B_i$ la imagen de $A_i$ mediante la aplicación $f:$ $$ B_i = \{ b / b=f(a) , a \in A_i \}$$ A la unión de los subconjuntos de $A$ le corresponde la unión de las imágenes de los subconjuntos de $A$
   Dem:
   Si $a$ pertenece a la unión es porque pertenece a algún subconjunto $A_i$ luego este elemento tendrá una imagen $f(a)$ de manera que esta en la imagen.
   Si b esta en la imagen es porque está en algún subconjunto de esta y si es así es porque es imagen de un a luego la afirmación es cierta.
4. Sean $A$ y $B$ dos conjuntos y $\{A_1 ,A_2, ... A_n \}$ $\{B_1 ,B_2, ... B_n \}$ subconjuntos de $A$ y $B$ respectivamente de $A$ y $B$
   Sea $B_i$ la imagen de $A_i$ mediante la aplicación $f:$ $$ B_i = \{ b / b=f(a) , a \in A_i \}$$ La intersección de subconjuntos de $A$ NO es la intersección de sus imágenes
   Supongamos $ A_1 ,A_2$ dos subconjuntos disjuntos de $A$ entonces la intersección será $ \emptyset $ luego la imagen también es $\emptyset $
   Supongamos que existen elementos (al menos uno) de $A_1$ y $A_2$ que tienen la misma imagen la intersección de las imágenes tendrá al menos este elemento en común luego no coinciden
5. Si $|A| \geq n \cdot |B|$ entonces existen como poco n elementos de A que tienen la misma imagen .
   Si $|A| > n \cdot |B|$ entonces existen como poco n+1 elementos de A que tienen la misma imagen .