Coef binomiales (propiedades)

Los coeficientes binomiales tienen propiedades axiomáticas , triviales y deducidas :

1. $\binom{0}{0}=1$ los conjuntos vacíos que puedo seleccionar del conjunto vacío.
2. $\binom{n}{k}=1$ Si k=0 o k=n : el conjunto vacío de cualquier conjunto y el conjunto total son 1
3. $$\binom{n}{k}= \binom{n}{n-k}$$
   • Desde un punto de vista aritmético $\frac{n!}{k! \cdot (n-k)! } =? \frac{n!}{(n-k)! \cdot (n-(n-k))! } = \frac{n!}{(n-k)! \cdot (n-n+k)! = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k! }$
   • Desde un punto de vista de conjuntos Si tenemos un conjunto $N$ con n elementos y definimos un conjunto $A$ formado por subconjuntos de $N$ que tienen k elementos y otro conjunto B formado por los $n-k$ elementos sea cual sea el elemento de $A$ su complementario será único existirá y tendrá $n-k$ elementos luego pertenece a $B$ , aquí existe una biyección entre estos dos conjuntos luego tienen los mismos elementos.
4. $$ \binom{n+1}{k} =\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} $$ para $\{ n , k \} \in \mathbb{N}$ El primer binomio representa los posibles conjuntos de n+1 elementos tomados de k en k y este conjunto lo separamos en 2 conjuntos los que tienen el elemento $n_1$ y los que no lo tienen entonces todo conjunto del primero está en un conjunto o en el otro y si esta en un conjunto no esta en el otro.
   El conjunto de elementos de n+1 elementos tomados de k en k dejando uno de ellos fijos en este caso $n_1$ es $\binom{n}{k-1}$ .
   El conjunto de los elementos del primer conjunto al que le hemos extraido el elemento $n_1$ es $\binom{n}{k}$ .