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Relación de elementos en subgrupos

Si se conoce el cardinal de un subconjunto, pueden conocerse el cardinal de otros que estén relacionados con el.

  1. Sea H un subgrupo de G $$|H^g| =|H|$$ $\forall g \in G$

    Buscamos una aplicación biyectiva entre $|H^g|$ y $|H|$

    La aplicación $f:H^g \rightarrow H $ definida por $ h^g \rightarrow h $ es inyectiva ya que $$\{ h^{-1} \circ h_1 \circ h = h^{-1} \circ h_2 \circ h \} \rightarrow h_1 = h_2 $$ Esto se demuestra simplificando la expresión!
    El conjunto además es el total ya que $H^g$ se define como el conjunto la imágenes que genera luego es epiyectiva.
    Como existe una aplicación biyectiva sus cardinales son los mismos.

  2. Sea H un subgrupo de G $$|g \circ H| =|H| = |H \circ f| $$ $\forall g \in G$

    Buscamos una aplicación biyectiva entre $\{ |g \circ H|$ y $|H| \}$ y $\{ |H|$ y $|H \circ g | \}$

    Definimos la aplicación $ g \circ H \rightarrow H $ como $ g \circ h \rightarrow h $

    La aplicación es inyectiva ya que si $g \circ h_1 = g \circ h_2 $ implica claramente $g_1 = g_2 $ en una dirección y en la otra basta componer con $g$ a ambos elementos o por su inverso.

HT de Lagrange

Si $ H \leq G $ es un subgrupo, el cardinal de los particionados a izquierdas $\xi_i(H,G)$ es el mismo que el cardinal de los particionados a derechas $\xi_d(H,G)$ que genera el grupo $H$ además también se cumple:

  • $|G| = |H| \cdot |G:H|$: el cardinal de $G$ es el producto del cardinal de |H| por número de coclases |G:H|
  • Si $G$ es finito entonces $|H|$ divide |G| : $|G:H| = |G| / |H|$.

Buscamos una aplicación biyectiva entre el particionado a izquierdas y a derechas: $$ f: \xi_i (H,G) \longrightarrow \xi_d (H,G) $$ $$ f: g \circ H \longrightarrow (g \circ H)^{-1} $$ Esta aplicación es inyectiva por definición de inverso y dado que se cumple $ (g \circ H)^{-1} = H \circ g^{-1} $ con lo que representa un particionado a derechas y como en un grupo la aplicación con su inverso es biyectiva esta también lo es.

Como las coclases son todas disjuntas y cada coclase a izquierdas viene dada por un representante cualquiera por los elementos del grupo $H$ , luego todas las coclases tienen el mismo número de elementos.
Si tenemos $|G:H|$ conjuntos disjuntos con $|H|$ elementos cada uno entonces: $$ |G:H| \circ |H| = |G| $$

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